53-Tone
第一次产生 53 音体系的构想, 已经是四、五年前了。 前几天跟人一块儿弹吉他, 从泛音谈起, 聊着聊着我就自顾自地说起了当年的这个构想。 这么些日子过去了, 意象中宏伟的 53 音体系结构依然滞留在地平线上, 真是对不起自己啊! 总结一番, 聊以自慰罢。
首先我们必须明晰, 自然大调与十二平均律之间的矛盾是如何产生的。 拿弦乐器来说, 当拨一个空弦时, 发出的音响不仅有以半波长为弦长的音, 还有以半波长整数分之一倍为弦长的泛音, 它们的频率是基音的整数倍。 设空弦为 C', 那么它的泛音分别为 C, G, c, e, g, 降b …… 等, 其中 C 与 C' 为八度, G 与 C' 为纯十二度 (8+5), G 与 C 即纯五度。 由此可见, 理想的纯五度音频率之比应为 3:2; 自然大调的音即以此为基础。
设 k = log2(3/2) ≈ 0.585; 为简便起见, 设 C 音频率为 128 Hz, 得到 C 自然大调各音频率:
| F' | C | G | d | a | e' | b' | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f | 85.33 | 128 | 192 | 288 | 432 | 648 | 972 |
| log2f | 6.415 7−k | 7 7 | 7.585 7+k | 8.170 7+2k | 8.755 7+3k | 9.340 7+4k | 9.925 7+5k |
此处应当指出, 全体正实数对乘法的群与全体实数对加法的群是同构群, 映射为对前者取 2 的对数; 于是我们只需研究一个数列的性质, 就能够推导出另一个数列的性质, 如前者的等比也就意味着后者的等差等等。 这就是引入第二行 log2f 的原因。
将这些音调整至同一个八度以内得到:
| C | D | E | F | G | A | B | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f | 128 | 144 | 162 | 170.67 | 192 | 216 | 243 |
| log2f | 7 7 | 7.170 6+2k | 7.340 5+4k | 7.415 8−k | 7.585 7+k | 7.755 6+3k | 7.925 5+5k |
全音频率比: 22k−1=20.169925; 半音频率比: 23−5k=20.075187; 全半音之比: 2.26。
按理想状况讲, 对 C''' 取 12 次上方五度应得到 7 次上方八度的 c''' 音, 而 12k−7 = 12log2(3/2)−7 ≈ 0.01955。 自然大调的不完备性初见端倪。 这也是必然的: k 是一个无理数, 怎么能奢望它的整数倍是整数呢?
于是就有了十二平均律。 在十二平均律中, 相邻半音频率之比相同, 设该公比为 q (q>1), 由 q12 = 2 得 q = 21/12 ≈ 1.059。
| C | D | E | F | G | A | B | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f | 128 | 143.68 128q2 | 161.27 128q4 | 170.86 128q5 | 191.78 128q7 | 215.27 128q9 | 241.63 128q11 |
| log2f | 7 7 | 7.167 7 1/6 | 7.333 7 1/3 | 7.417 7 5/12 | 7.583 7 7/12 | 7.750 7 3/4 | 7.917 7 11/12 |
全音频率比: 21/6; 半音频率比: 21/12; 全半音之比: 2。
此时十二平均律与自然大调的多处不一致已经显现出来, 主要体现在音的不一致方面。 一个典型的例子就是属七和弦, 按自然大调, C7 和弦中的 bB 的频率应为 C 的 7/4 = 1.75 倍; 而在十二平均律中, 这个倍数变成了 q10 = 1.7818, 这种显著的误差是容易辨别的。
有文献指出, 拉弦乐器大家在演奏时往往无视十二平均律, 自然而然地就拉出了自然大调的音高 (如 1.5 倍频率的五度, 1.75 倍频率的小七度等等); 也有理论家认为, #C 应比 bD 高几分之几个半音。 我们钦佩音乐家们敏锐的乐感和直觉, 但我们不应接受任何没有理论基础的、似是而非的说法。
我构想的 53 音体系, 全半音之比为 9:4 = 2.25; 一个八度中有五个全音和两个半音, 于是这个八度就被 53 等分, 全音频率比为 29/53, 半音频率比为 24/53。 设 ε = 21/53。
| C | D | E | F | G | A | B | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f | 128 | 143.99 128ε9 | 161.97 128ε18 | 170.67 128ε22 | 191.99 128ε31 | 215.97 128ε40 | 242.95 128ε49 |
| log2f | 7 7 | 7.167 7 9/53 | 7.333 7 18/53 | 7.417 7 22/53 | 7.583 7 31/53 | 7.750 7 40/53 | 7.917 7 49/53 |
这种 53 音定音体系是合理的, 理由如下: 首先, 将各音频率与自然大调各音的频率相对比, 我不相信人类的耳朵对音高有 0.01 Hz 的分辨率。 其次, 推翻了十二平均律 #C = bD 的不合理假设, B 的上方五度 #f 的频率应为 128ε80 = 256ε27, 比 f 高 ε5 倍, 即升号代表提高 5/9 个全音, 于是 #C 就应该比 bD 高 1/4 个半音; C7 和弦中的 bB (其实是 bbC?) 也找到了它的位置, 128ε43 = 224.62 与 128 x 7/4 = 224 的理论值差异已经可以接受; 第三, 全音是半音的两倍这一望文生义所产生出来的谬误, 也终于被纠正了过来。
对十二平均律的诸多反思, 它与 53 音体系的比较, 以及我是如何选定 53 这个数的, 时间所限, 改天再续。 十二平均律和声体系显然不可能直接应用于该 53 音体系, 它的基础 —— 三和弦已经发生了变化, 所以下一步必须构建一套全新的和声体系。 (只怕有心无力……)
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